Question

4．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為$\sqrt{3}$，動點P在對角線BD₁上，過點P作垂直于BD₁的平面α，平面α截正方體的表面得到一個多邊形，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設BP=x，當$x∈[{\frac{1}{3}，\frac{5}{2}}]$時，函數y=f（x）的值域為（　　）

• A． [1，3]
• B． [$\sqrt{6}$，3$\sqrt{6}$]
• C． [$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，4$\sqrt{6}$]
• D． [$\sqrt{6}$，4$\sqrt{6}$]

Answer 1

分析 分三種情況討論f（x）的變換情況，利用相似三角形得出f（x）的值域．

解答 解：作平面ACB₁和平面A₁C₁D，則BD₁⊥平面AB₁C，BD₁⊥平面A₁DC₁，
設B到平面ACB₁的距離為d，則V${\;}_{B-A{B}_{1}C}$=V${\;}_{{B}_{1}-ABC}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×$（$\sqrt{6}$）²×d=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$（$\sqrt{3}$）²×$\sqrt{3}$，解得d=1，
①當$x∈[{\frac{1}{3}，1}]$時，截面多邊形是三角形EFG，
由△EFG∽△AB₁C得△EFG的周長為3$\sqrt{6}$x，∴3$\sqrt{6}$x∈$[{\sqrt{6}，3\sqrt{6}}]$；
②當x∈（1，2）時，截面多邊形是六邊形HIJKLM，
設$\frac{HI}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{{B}_{1}I}{{B}_{1}{C}_{1}}$=λ，則$\frac{IJ}{{B}_{1}C}$=$\frac{{C}_{1}I}{{B}_{1}{C}_{1}}$=1-λ，
∴HI+IJ=$\sqrt{6}$，
∴截面六邊形的周長為$3\sqrt{6}$；
③當$x∈[{2，\frac{5}{2}}]$時，截面多邊形是三角形NQR，
由①可知截面三角形周長范圍為$[{\frac{{3\sqrt{6}}}{2}，3\sqrt{6}}]$；
∴當x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{2}$]時，f（x）的值域為[$\sqrt{6}$，3$\sqrt{6}$]．
故選B．

點評 本題考查了棱柱的結構特征，屬于中檔題．