Question

15．從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中取兩個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．試問(wèn)：
（1）能組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？
（2）四位數(shù)中，兩個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？（所有結(jié)果均用數(shù)值表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分2種情況討論：①、取出的2個(gè)偶數(shù)不含0，②、取出的2個(gè)偶數(shù)含0，每種情況下先計(jì)算偶數(shù)、奇數(shù)的取法數(shù)目，再分析偶數(shù)、奇數(shù)之間的順序，計(jì)算可得每種情況的四位數(shù)數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案；
（1）根據(jù)題意，分2種情況討論：①、取出的2個(gè)偶數(shù)不含0，用捆綁法分析可得四位數(shù)數(shù)目，②、取出的2個(gè)偶數(shù)含0，用間接法分析可得此時(shí)四位數(shù)數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分2種情況討論：
①、取出的2個(gè)偶數(shù)不含0，
偶數(shù)的取法有1種，奇數(shù)的取法有C₃²=3種，
將取出的4個(gè)數(shù)字全排列，有A₄⁴=24種情況，
則此時(shí)的四位數(shù)的數(shù)目有3×24=72個(gè)；
②、取出的2個(gè)偶數(shù)含0，
另一個(gè)偶數(shù)的取法有2種，奇數(shù)的取法有C₃²=3種，
除0之外的三個(gè)數(shù)中任選1個(gè)，安排在首位，有3種情況，
將剩余的3個(gè)數(shù)字全排列，有A₃³=6種情況，
則此時(shí)的四位數(shù)的數(shù)目有2×3×3×6=108個(gè)；
則可以有72+108=180個(gè)不同的四位數(shù)；
（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：
①、取出的2個(gè)偶數(shù)不含0，
偶數(shù)的取法有1種，奇數(shù)的取法有C₃²=3種，
將2個(gè)偶數(shù)看成一個(gè)整體，考慮其順序，有A₂²=2種情況，
將這個(gè)整體與2個(gè)奇數(shù)全排列，有A₃³=6種情況，
則此時(shí)的四位數(shù)的數(shù)目有3×2×6=36個(gè)；
②、取出的2個(gè)偶數(shù)含0，
另一個(gè)偶數(shù)的取法有2種，奇數(shù)的取法有C₃²=3種，
將2個(gè)偶數(shù)看成一個(gè)整體，考慮其順序，有A₂²=2種情況，
將這個(gè)整體與2個(gè)奇數(shù)全排列，有A₃³=6種情況，
其中0在首位的情況有2×3×2=6種，
則此時(shí)的四位數(shù)的數(shù)目有2×3×2×6-6=60個(gè)；
則可以有36+60=96個(gè)不同的四位數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意四位數(shù)的首位數(shù)字不能為0，在取出偶數(shù)時(shí)需要分類討論．