Question

12．已知數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n-1
（1）求證數列{a_n-1}是等比數列
 （2）設b_n=n•（a_n-1），求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n-1，變形為：a_n+1-1=2（a_n-1），利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）b_n=n•（a_n-1）=n•2^n-1，利用錯位相減法與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）證明：∵a_n+1=2a_n-1，變形為：a_n+1-1=2（a_n-1），
∴數列{a_n-1}是等比數列，首項為1，公比為2，
∴a_n-1=2^n-1，即a_n=1+2^n-1．
（2）b_n=n•（a_n-1）=n•2^n-1，
∴數列{b_n}的前n項和S_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，①
∴2S_n=2+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n•2ⁿ，②
由①-②，得-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1．
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點評 本題考查了錯位相減法、等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．