Question

13．已知函數f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求f（x）的單調區間和極值；
（2）若對任意x∈（0，+∞），f（x）≥$\frac{{-{x^2}+mx-3}}{2}$恒成立，求實數m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由，f′（x）＞0⇒x＞$\frac{1}{e}$，f′（x）＜0⇒0＜x＜$\frac{1}{e}$，可得f（x）的單增區間，即可得f（x）的極值
（2）由$f（x）≥\frac{{-{x^2}+mx-3}}{2}$變形，得$m≤\frac{{2xlnx+{x^2}+3}}{x}$恒成立，令$g（x）=\frac{{2xlnx+{x^2}+3}}{x}（x＞0）$，利用導數求解

解答 解析：（1）f'（x）=lnx+1，f′（x）＞0⇒x＞$\frac{1}{e}$，f′（x）＜0⇒0＜x＜$\frac{1}{e}$
∴f（x）的單調增區間是$（\frac{1}{e}，+∞）$，單調減區間是$（0，\frac{1}{e}）$．
∴f（x）在$x=\frac{1}{e}$處取得極小值，極小值為$f（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$．
（2）由$f（x）≥\frac{{-{x^2}+mx-3}}{2}$變形，得$m≤\frac{{2xlnx+{x^2}+3}}{x}$恒成立，
令$g（x）=\frac{{2xlnx+{x^2}+3}}{x}（x＞0）$，$g'（x）=\frac{{2x+{x^2}-3}}{x^2}$，
由g'（x）＞0⇒x＞1，g'（x）＜0⇒0＜x＜1．
所以，g（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數．
所以，g（x）_min=g（1）=4，即m≤4，所以m的最大值是4．

點評 本題考查了利用導數求函數的單調區間、極值，考查了利用導數處理恒處理問題，屬于中檔題．