Question

9．已知橢圓E的兩個焦點分別為（0，-1）和（0，1），離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（1）求橢圓E的方程
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓E交于不同的兩點A、B，且線段AB的垂直平分線過定點P（0，$\frac{1}{2}$），求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=$\sqrt{2}$，b²=1，即可求得橢圓E的方程；
（2）由丨PA丨=丨PB丨，利用兩點之間的距離公式求得（x₁+x₂）（k²+1）=-2k（m-$\frac{1}{2}$），①，將直線方程代入橢圓方程，x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+2}$，②，由△＞0，m²＜k²+2，③代入即可求得實數k的取值范圍．

解答 解：（1）由橢圓的焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
則c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a=$\sqrt{2}$，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1$；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的垂直平分線過定點P（0，$\frac{1}{2}$），
∴丨PA丨=丨PB丨，即${x}_{1}^{2}+（{y}_{1}-\frac{1}{2}）^{2}$=${x}_{2}^{2}+（{y}_{2}-\frac{1}{2}）^{2}$，
∵A，B在l上，則y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，代入求得（x₁+x₂）（k²+1）=-2k（m-$\frac{1}{2}$），①
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{y}^{2}}{2}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（k²+2）x²+2kmx+m²-2=0，
由韋達定理：x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+2}$，②，
由直線和橢圓有兩個交點，
∴△＞0，即4k²m²-4（k²+2）（m²-2）＞0，則m²＜k²+2，③
將②代入①得m=$\frac{{k}^{2}}{2}+1$，④，
將④代入③，解得：-$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$，
∵k≠0，
∴實數k的取值范圍（-$\sqrt{2}$，0）∪（$\sqrt{2}$，0）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，兩點之間的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．