Question

20．如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F為線段EC（端點除外）上一動點，現將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF．在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足，設AK=t，則t的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，2）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2）
• D． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）

Answer 1

分析 此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時，可得t=1，隨著F點到C點時，當C與F無限接近，不妨令二者重合，此時有CD=2，由此能求出t的取值的范圍．

解答 解：此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時，可得t=1，
隨著F點到C點時，當C與F無限接近，不妨令二者重合，此時有CD=2
∵CB⊥AB，CB⊥DK，
∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，
對于CD=2，BC=1，在直角三角形CBD中，得BD=$\sqrt{3}$，
又AD=1，AB=2，再由勾股定理可得∠BDA是直角，∴AD⊥BD
 再由DK⊥AB，可得三角形ADB和三角形AKD相似，可得t=$\frac{1}{2}$，
∴t的取值的范圍是（$\frac{1}{2}$，1）
故選：B．

點評 本題考查線段長的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意特殊值法的合理運用．