Question

4．若函數f（x）=x³-6ax+3a在（0，1）內有極小值，則實數a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 由函數y=x³-6ax+3a在（0，1）內有極小值，求導可得，導函數在（0，1）內至少有一個實數根，分a＞0、a=0、a＜0三種情況，求得實數a的取值范圍．

解答 解：對于函數y=x³-6ax+3a，求導可得y′=3x²-6a，
∵函數y=x³-6ax+3a在（0，1）內有極小值，
∴y′=3x²-6a=0，則其有一根在（0，1）內，當a＞0時，3x²-6a=0兩根為±$\sqrt{2a}$，
若有一根在（0，1）內，則0＜$\sqrt{2a}$＜1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$．
當a=0時，3x²-6a=0兩根相等，均為0，f（x）在（0，1）內無極小值．
當a＜0時，3x²-6a=0無根，f（x）在（0，1）內無極小值，
綜合可得，0＜a＜$\frac{1}{2}$，
故答案為：$（0，\frac{1}{2}）$．

點評 本題考查利用導數研究函數的極值問題，體現了轉化的思想方法，屬于中檔題．