Question

5．如圖，在三棱錐A-BCD中，底面BCD是邊長為2的等邊三角形，側棱AB=AD=$\sqrt{2}$，AC=2，O、E、F分別是BD、BC、AC的中點．
（1）求證：EF∥平面ABD；
（2）求證：AO⊥平面BCD；
（3）求異面直線AB與CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出EF∥AB，由此能證明EF∥平面ABD．
（2）推導出AO⊥BD，AO⊥OC，由此能證明AO⊥平面BCD．
（3）連接OE，則∠OEF（或其補角）為異面直線AB與CD所成角，由此能求出異面直線AB與CD所成角的余弦值．

解答 證明：（1）∵E、F分別是BC、AC的中點，
∴EF∥AB，
∵EF?平面ABD，AB?平面ABD，
∴EF∥平面ABD．（3分）
（2）∵底面BCD是邊長為2的等邊三角形，O是BD的中點，
∴AO⊥BD①
又AO=1，AC=2，OC=$\sqrt{3}$，∴AO²+OC²=AC²，
故AO⊥OC②，又OC∩BD=O，③
由①②③得AO⊥平面BCD．（7分）
解：（3）連接OE，則∠OEF（或其補角）為異面直線AB與CD所成角，
由（1）知，在Rt△AOC中，OF=$\frac{1}{2}$AC=1，
又EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OE=$\frac{1}{2}$DC=1
在△EOF中，由余弦定理得到：
cos∠OEF=$\frac{1+\frac{1}{2}-1}{2×1×\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．（12分）

點評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．