Question

設f（x）=sin（

11π

6

x+

π

3

），
（1）對于任意正數a，是否總能找到不小于a且不大于a+1的兩個數a和b，使f（b）=-1？證明你的結論．
（2）若限定a為自然數，請重新回答和證明（2）中的問題．

Answer 1

考點：正弦函數的定義域和值域

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據正弦函數在x∈（-

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ）范圍內恒有y＞-1，（其中k為正整數），找到正數a滿足

12k-5

11

＜a＜

12k-4

11

，使得[a•

11π

6

+

π

3

，（a+1）•

11π

6

+

π

3

]⊆（-

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ），從而說明存在a，使得當a≤x≤a+1時，恒有f（x）＞-1，得到不能總存在b，使f（b）=-1；
（2）由（1）中求得的

12k-5

11

＜a＜

12k-4

11

，得到11a+4＜k＜11a+5，而滿足該式的自然數a與正整數k不存在，則說明存在滿足a≤b≤a+1的b，使f（b）=-1．

解答： 解：（1）不能．
∵函數y=sinx在x∈（-

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ）范圍內恒有y＞-1，（其中k為正整數），
∴只要證明存在a＞0，使[a•

11π

6

+

π

3

，（a+1）•

11π

6

+

π

3

]⊆（-

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ）即可．
由

- π 2 +2kπ＜a• 11π 6 + π 3 (a+1)• 11π 6 + π 3 ＜ 3π 2 +2kπ

，
解得：

12k-5

11

＜a＜

12k-4

11

．
即存在a，使得當a≤x≤a+1時，恒有f（x）＞-1，∴不能總存在b，使f（b）=-1．
（2）由（1）可知，

12k-5

11

＜a＜

12k-4

11

，
即11a+4＜k＜11a+5，
∵a為自然數，k為正整數，∴不存在滿足上式的k和a，
即不存在a，使[a•

11π

6

+

π

3

，（a+1）•

11π

6

+

π

3

]⊆（-

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ）．
∴存在滿足a≤b≤a+1的b，使f（b）=-1．

點評：本題考查了三角函數的定義域和值域，考查了數學轉化思想方法，關鍵是對題意的理解，是中檔題．