Question

已知點列P_n（a_n，b_n）在直線l：y=2x+1上，P₁為直線l與y軸的交點，等差數列{a_n}的公差為1，（n∈N⁺）
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=（2a_n-b_n+3） bn，求c_n的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）依題意，知等差數列{a_n}的公差為1，首項為0，從而可得等差數列{a_n}的通項公式，再由點列P_n（a_n，b_n）在直線l：y=2x+1上，可求得{b_n}的通項公式；
（2）由（1）知，2a_n-b_n+3=2，從而知c_n=（2a_n-b_n+3） bn=2^2n-1，利用等比數列的求和公式即可求得c_n的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵點列P_n（a_n，b_n）在直線l：y=2x+1上，P₁為直線l與y軸的交點，
∴b_n=2a_n+1，a₁=0，b₁=2×0+1=1，
又等差數列{a_n}的公差為1，
∴a_n=0+（n-1）×1=n-1；
∴b_n=2a_n+1=2（n-1）+1=2n-1；
（2）又2a_n-b_n+3=2（n-1）-（2n-1）+3=2，
∴c_n=（2a_n-b_n+3） bn=2^2n-1，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=2¹+2³+…+2^2n-1=

2(1-4n)

1-4

=

2

3

（4ⁿ-1）．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差數列的通項公式與等比數列的求和公式的應用，考查轉化思想．