Question

已知函數f（x）=-x³+k•x²+3x-2k，g（x）=（3-k²）•x
（1）當x∈（1，+∞）時，討論函數f（x）是否存在極值；
（2）若存在x₀∈（1，+∞），使f（x₀）＞g（x₀）成立，試求k的范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,分類討論,導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數，考慮判別式大于0恒成立，討論f′（1）＞0，f′（1）≤0，考慮極值情況；
（2）存在x₀∈（1，+∞），使f（x₀）＞g（x₀）成立，即為f（x）＞g（x）在x＞1有解，即-x³+k•x²+3x-2k-（3-k²）•x＞0即h（x）=x³-kx²-k²x+2k＜0（x＞1）有解，討論k=0，若k≠0，則有h（1）≤0，解不等式，加以檢驗即可得到范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）=-x³+k•x²+3x-2k的導數為：
f′（x）=-3x²+2kx+3，
由于判別式△=4k²+36＞0，則f′（x）=0有兩個不相等的實數根且符號相反．
設正根為x₁，負根為x₂，
f′（0）=3＞0，若f′（1）＞0，即-3+2k+3＞0解得，k＞0，
則f（x）在（1，x₁）遞增，（x₁，+∞）遞減，
則f（x）存在極大值；
若f′（1）≤0，即-3+2k+3≤0解得，k≤0，則f（x）在（1，+∞）遞減，不存在極值；
綜上，當k＞0時，f（x）存在極大值；當k≤0時，f（x）不存在極值；
（2）存在x₀∈（1，+∞），使f（x₀）＞g（x₀）成立，即為
f（x）＞g（x）在x＞1有解，即-x³+k•x²+3x-2k-（3-k²）•x＞0
即h（x）=x³-kx²-k²x+2k＜0（x＞1）有解，
若k=0，顯然不成立；
若k≠0，則有h（1）≤0，即有1-k-k²+2k≤0，
解得，k≥

1+ 5

2

或k≤

1- 5

2

，
檢驗，k=

1+ 5

2

時，x＞1時，h（x）＜0；k=

1- 5

2

時，x＞1時，h（x）＞0恒成立．
則k的范圍是：k≥

1+ 5

2

或k＜

1- 5

2

．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查函數成立問題，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．