Question

已知A，B，C的坐標分別為A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），D（sinβ，0），α∈（

π

2

，

3π

2

），β∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）若

.

AC

⊥

.

BC

，求

2sin2α+sin2α

1+tanα

的值
（2）若|

AC

|=|

BC

|，又

.

AD

在

.

AB

上投影為

4 2

3

，求cos（α-β）的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,三角函數的求值,平面向量及應用

分析：（1）運用向量垂直的條件，即為數量積為0，結合二倍角公式和同角公式，化簡即可得到；
（2）運用向量模的公式和向量的投影概念，得到α，β的正弦和余弦，再由兩角差的余弦公式計算即可得到．

解答： 解：（1）由于A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
則

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3），
若

.

AC

⊥

.

BC

，則cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=0，
化簡可得，cosα+sinα=

1

3

，α∈（

π

2

，π）．
平方可得，1+2sinαcosα=

1

9

，
即有2sinαcosα=-

8

9

．
則

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sin2α+2sinαcosα

1+ sinα cosα

=2sinαcosα=-

8

9

；
（2）若|

AC

|=|

BC

|，則（cosα-3）²+sin²α=cos²α+（sinα-3）²，
化簡可得，sinα=cosα，即tanα=1，
由α∈（

π

2

，

3π

2

），則α=

5π

4

．

AB

=（-3，3），

AD

=（sinβ-3，0）
則

.

AD

在

.

AB

上投影為

AD • AB

| AB |

=

3(3-sinβ)

3 2

=

4 2

3

，
即有sinβ=

1

3

，
由于β∈（-

π

2

，

π

2

），則cosβ=

1- 1 9

=

2 2

3

，
則cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-

2

2

×

2 2

3

+（-

2

2

）×

1

3

=-

4+ 2

6

．

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標表示，考查向量垂直的條件和向量的投影的定義，考查三角函數的恒等變換公式的運用：化簡和求值，考察運算能力，屬于中檔題．