Question

1．已知一個三棱錐的俯視圖與側（左）視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側視圖是有一條直角邊長為1的直角三角形，則該三棱錐的表面積為$4+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得：三棱錐P-ABC滿足：PC⊥底面ABC，PC=1，取AB的中點D，連接CD，PD．CD⊥AB，可得AB⊥PD．PD=$\sqrt{P{C}^{2}+C{D}^{2}}$．利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：由題意可得：三棱錐P-ABC滿足：PC⊥底面ABC，PC=1，
取AB的中點D，連接CD，PD．
CD⊥AB，∴AB⊥PD．
PD=$\sqrt{P{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2．
∴該三棱錐的表面積S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$+2×$\frac{1}{2}×2×1$+$\frac{1}{2}×AB×PD$
=$\sqrt{3}$+2+$\frac{1}{2}×2×2$
=4+$\sqrt{3}$．
故答案為：$4+\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三棱錐的三視圖、線面垂直的判定與性質定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．