Question

8．直線過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦點，斜率為2，若與雙曲線的兩個交點分別在左右兩支上，則雙曲線離心率e的取值范圍是（　　）

• A． $e＞\sqrt{2}$
• B． $1＜e＜\sqrt{3}$
• C． $e＞\sqrt{5}$
• D． $1＜e＜\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據已知直線的斜率，求出漸近線的斜率范圍，推出a，b的關系，然后求出離心率的范圍．

解答 解：依題意，斜率為2的直線l過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，
的右焦點且與雙曲線的左右兩支分別相交，
結合圖形分析可知，雙曲線的一條漸近線的斜率$\frac{b}{a}$必大于2，
即$\frac{b}{a}$＞2，
因此該雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$═$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$＞$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是離心率的求法，注意運用直線的斜率，考查轉化思想，是中檔題．