Question

19．設f'（x）是函數y=f（x）的導數，f''（x）是f'（x）的導數，若方程f''（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．已知：任何三次函數既有拐點，又有對稱中心，且拐點就是對稱中心．設$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+\frac{8}{3}x+2$，則數列{a_n}的通項公式為a_n=n-1007，則$\sum_{i=1}^{2017}{f（{a_i}）=}$4034．

Answer 1

分析 令f″（x）=0得出f（x）的對稱點，根據對稱性和等差數列的性質得出結論．

解答 解：f′（x）=x²-4x+$\frac{8}{3}$，f″（x）=2x-4，
令f″（x）=0得x=2，又f（2）=2，
∴f（x）的對稱中心為（2，2）．
∵a_n=n-1007，∴{a_n}是以-1006為首項，以1為公差的等差數列，
∴a₁+a₂₀₁₇=a₂+a₂₀₁₆=…=a₁₀₀₈+a₁₀₁₀=2a₁₀₀₉=4，
∴f（a₁）+f（a₂₀₁₇）=f（a₂）+f（a₂₀₁₆）=…=f（a₁₀₀₈）+f（a₁₀₁₀）=4，
∴$\sum_{i=1}^{2017}{f（{a_i}）=}$f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₇）=1008×4+f（a₁₀₀₉）=4032+f（2）=4032+2=4034．
故答案為：4034．

點評 本題考查了函數的對稱性，等差數列的性質，屬于中檔題．