Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1，x≤0}\\{-{x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$則關于x的不等式f（f（x））≤3的解集為（-∞，2]．

Answer 1

分析 通過換元法，令f（t）≤3，利用分段函數(shù)求出t的范圍，即f（x）的范圍，結合分段函數(shù)列出不等式求解即可．

解答 解：不等式f（f（x））≤3，令f（t）≤3，若t≤0，則2^-t-1≤3，2^-t≤4，解得-2≤t≤0；
若t＞0，則-t²+t≤3，t²-t+3≥0，解得t＞0，∴t≥-2，
即原不等式等價于$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1≥-2}\\{x≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x≥-2}\\{x＞0}\end{array}\right.$，解得x≤2．
故答案為：（-∞，2]．

點評 本題考查分段函數(shù)的應用，換元法以及轉化思想的應用，考查計算能力．