設
，函數
.
（1）若
，求曲線
在點
處的切線方程；
（2）若
無零點，求實數
的取值范圍；
（3）若有兩個相異零點
、
，求證：
.
（1）切線方程為
；（2）實數的取值范圍是
；（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）將代入函數的解析式，利用導函數的幾何意義，結合直線的點斜式求出切線的方程；（2）先求出函數的導數，對的符號進行分類討論，結合零點存在定理判斷函數在定義域上是否有零點，從而求出參數的取值范圍；另外一中方法是將問題等價轉化為“直線
與曲線
無公共點”，結合導數研究函數
的基本性質，然后利用圖象即可確定實數的取值范圍；（3）從所證的不等式出發，利用分析法最終將問題等價轉換為證明不等式
在區間
上恒成立，并構造新函數
，利用導數結合函數的單調性與最值來進行證明.
試題解析：在區間
上，
，
（1）當時，
，則切線方程為
，即；
（2）①當
時，
有唯一零點
；
②當
時，則
，是區間上的增函數，
，
，
，即函數在區間有唯一零點；
③當
時，令
得
，
在區間
上，，函數是增函數，
在區間
上，
，函數是減函數，
故在區間上，的極大值為
，
由
，即
，解得
，故所求實數的取值范圍是；
另解：無零點
方程
在上無實根直線與曲線無公共點，
令，則
，令
，解得
，列表如下：
，
.
；
與
、
均相切，切點分別為（
）、（
），且
，求證：
.
，
．
（其中
是
的導函數），求
的最大值；
時，有
；
,當
時,不等式
恒成立，求
的最大值.
，
的單調性；
.
，
；
時，求函數
的單調區間；
的取值范圍；
，是否存在實數
(
是自然對數的底數)時，函數
的最小值是
.若存在，求出
.
，求
的單調區間；
時
，求
的取值范圍
，函數
的圖象上的動點
在
軸上的射影為
，且點
的左側.設
，
的面積為
.
的取值范圍；
，曲線
過點P（1，0），且在P點處的切斜線率為2．
，
的值；
．
，其中
.
，
，記直線AB的斜率 為k，問：是否存在x0∈（x1，x2），使
成立？若存在，求
的取值范圍；若不存在，請說明理由.