Question

已知函數，其中.
(1)若對一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合；
(2)在函數的圖像上取定兩點，，記直線AB的斜率   為k，問：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1) 的取值集合為；
(2)存在使成立.且的取值范圍為

解析試題分析：(1)利用導數求出的最小值，令其大于等于即，解得的取值集合； (2)由題意知，令然后說明在內有唯一零點且，故當且僅當時， .
試題解析：（1）若，則對一切，，
這與題設矛盾，又，故.
而令
當時，單調遞減；當時，單調遞增，故當時， 取最小值
于是對一切恒成立，當且僅當
.　　　　　　　　　　　　　　　　　①
令則
當時，單調遞增；當時，單調遞減.
故當時，取最大值.因此，當且僅當即時，①式成立.
綜上所述，的取值集合為.
（2）由題意知，
令則


令，則.
當時，單調遞減；當時，單調遞增.
故當，即
從而，又
所以
因為函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，所以存在使單調遞增，故這樣的是唯一的，且.故當且僅當時， .
綜上所述，存在使成立.且的取值范圍為.
考點：直線斜率定義、利用導數求函數最值、利用導數求函數單調性、零點存在定理.