Question

設(shè)函數(shù)，若在點(diǎn)處的切線斜率為．
（Ⅰ）用表示；
（Ⅱ）設(shè)，若對(duì)定義域內(nèi)的恒成立，
（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（ⅱ）對(duì)任意的，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：(Ⅰ) 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義“曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處切線的斜率”來(lái)求；(Ⅱ)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而求最值.
試題解析：（Ⅰ），依題意有：； 
（Ⅱ）恒成立．
（ⅰ）恒成立，即．  
方法一：恒成立，則．
當(dāng)時(shí)，
,
則，，單調(diào)遞增，
當(dāng)，， 單調(diào)遞減，
則，符合題意，即恒成立．
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為．    
方法二：，
①當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞減，當(dāng)，， 單調(diào)遞增，則，不符題意；
②當(dāng)時(shí)，
，
（1）若，，，，單調(diào)遞減；當(dāng)，， 單調(diào)遞增，則，不符題意；
（2）若，
若，，，，單調(diào)遞減，
這時(shí)，不符題意；
若，，，，單調(diào)遞減，這時(shí)，不符題意；
若，，，，單調(diào)遞增；當(dāng)，， 單調(diào)遞減，則，符合題意；
綜上，得恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
方法三：易證

∵，∴，
當(dāng)，即時(shí)，，即恒成立；
當(dāng)