Question

已知函數 (為實常數)  
（1）當時，求函數在上的最大值及相應的值；
（2）當時，討論方程根的個數
（3）若，且對任意的，都有，求實數a的取值范圍

Answer 1

（1）當時；（2）當時，方程有2個相異的根；當 或時，方程有1個根；當時，方程有0個根；（3） 

解析試題分析：(1) 利用導數求解極值點，然后確定單調性，分析最值；(2)把方程的根轉化為函數圖像的交點，利用導數研究單調性，進而求最值，然后分析交點的情形即根的情形；（3）通過對函數單調性的分析，可得導數在區間上大于零恒成立問題，然后轉化為最值求解
試題解析：（1），
當時， 當時，，
又，
故，當時，取等號        4分
（2）易知，故，
方程根的個數等價于時，方程根的個數。
設=，
當時，，函數遞減，
當時，，函數遞增。
又，，作出與直線的圖像，由圖像知：
當時，即時，方程有2個相異的根；
當 或時，方程有1個根；
當時，方程有0個根；               10分
（3）當時，在時是增函數，又函數是減函數，不妨設，則等價于
即，故原題等價于函數在時是減函數，
恒成立，即在時恒成立。
在時是減函數              16分
（其他解法酌情給分）
考點：導數，函數的單調性，函數的最值