已知函數(shù)(
是常數(shù))在
處的切線(xiàn)方程為
,且
.
(Ⅰ)求常數(shù)的值;
(Ⅱ)若函數(shù)(
)在區(qū)間
內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)證明:.
(Ⅰ),
,
;(Ⅱ)實(shí)數(shù)
的取值范圍是
;(Ⅲ)詳見(jiàn)解析.
解析試題分析:(Ⅰ)求常數(shù)的值,由函數(shù)
(
是常數(shù))在
處的切線(xiàn)方程為
,只需對(duì)
求導(dǎo),讓它的導(dǎo)數(shù)在
處的值即為切線(xiàn)的斜率,這樣能得到
的一個(gè)關(guān)系式,由
,代入函數(shù)中,又得到
的一個(gè)關(guān)系式,因?yàn)槿齻(gè)參數(shù),需再找一個(gè)關(guān)系式,,注意到
在切線(xiàn)上,可代入切線(xiàn)方程得到
的一個(gè)關(guān)系式,三式聯(lián)立方程組即可,解此類(lèi)題,關(guān)鍵是找
的關(guān)系式,有幾個(gè)參數(shù),需找?guī)讉(gè)關(guān)系式;(Ⅱ)若函數(shù)
(
)在區(qū)間
內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),即它的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)不恒正或恒負(fù),即
在區(qū)間
內(nèi)有極值點(diǎn),而
,只要
在區(qū)間
內(nèi)有解,從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問(wèn)題,分兩種情況:在區(qū)間
內(nèi)有一解,在區(qū)間
內(nèi)有兩解,結(jié)合二次函數(shù)圖像,從而求出實(shí)數(shù)
的取值范圍;(Ⅲ)證明:
,注意到
,只需證明
在
上
即可,即
,而
,只需證明
在
上
即可,而
,即
,只需證
在
上為減函數(shù),這很容易證出,此題構(gòu)思巧妙,考查知識(shí)點(diǎn)多,學(xué)科知識(shí)點(diǎn)融合在一起,的確是一個(gè)好題,起到把關(guān)題作用.
試題解析:(Ⅰ)由題設(shè)知,的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4e/e/cxrz1.png" style="vertical-align:middle;" />,
, 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/56/9/1gu5r3.png" style="vertical-align:middle;" />在
處的切線(xiàn)方程為
,所以
,且
,即
,且
, 又
,解得
,
,
,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 因此,
,
所以,令
. (ⅰ)當(dāng)函數(shù)
在
內(nèi)有一個(gè)極值時(shí),
在
內(nèi)有且僅有一個(gè)根,即
在
內(nèi)有且僅有一個(gè)根,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f9/a/1vyew2.png" style="vertical-align:middle;" />,當(dāng)
,即
時(shí),
在
內(nèi)有且僅有一個(gè)根
,當(dāng)
時(shí),應(yīng)有
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)>0)
(1)若的一個(gè)極值點(diǎn),求
的值;
(2)上是增函數(shù),求a的取值范圍
(3)若對(duì)任意的總存在
>
成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在
單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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已知R,函數(shù)
e
.
(1)若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)若函數(shù)存在極大值,并記為
,求
的表達(dá)式;
(3)當(dāng)時(shí),求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù) (
為實(shí)常數(shù))
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
在
上的最大值及相應(yīng)的
值;
(2)當(dāng)時(shí),討論方程
根的個(gè)數(shù)
(3)若,且對(duì)任意的
,都有
,求實(shí)數(shù)a的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)(m為常數(shù),e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),函數(shù)
的最小值為1,其中
是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù).
(1)求m的值.
(2)判斷直線(xiàn)y=e是否為曲線(xiàn)f(x)的切線(xiàn),若是,試求出切點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分共12分)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線(xiàn)y=f(x)和曲線(xiàn)y=g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線(xiàn)y=4x+2
(Ⅰ)求a,b,c,d的值
(Ⅱ)若x≥-2時(shí),f(x)≤kg(x),求k的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知,
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線(xiàn)
在點(diǎn)
處的切線(xiàn)方程;
(Ⅱ)若在
處有極值,求
的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù),使
在區(qū)間
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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