Question

8．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側棱A₁A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA₁=2，AD=CD=$\sqrt{5}$，且點M和N分別為B₁C和D₁D的中點．
（I）求證：MN∥平面ABCD；
（II）求二面角D₁-AC-B₁的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為原點建立空間直角坐標系，利用向量法能證明MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）求出兩個平面的法向量，可計算兩個平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可．

解答 證明：（1）如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，
依題意A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，-2，0），
 A₁（0，0，2），B₁（0，1，2），C₁（2，0，2），D₁（1，-2，2），
又∵M，N分別為B₁C和D₁D的中點，∴M（1，$\frac{1}{2}$，1），N（1，-2，1）．
由題意得$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）為平面ABCD的一個法向量，
$\overrightarrow{MN}$=（0，-$\frac{5}{2}$，0），
∵$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}$=0，又∵直線MN?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（II）$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（1，-2，2），$\overrightarrow{AC}=（2，0，0）$，設$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$為平面ACD₁的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=x-2y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2x=0}\end{array}\right.$，不妨設z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
設$\overrightarrow{p}=（x，y，z）$為平面ACB₁的一個法向量，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，2），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=y+2z=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AC}=2x=0}\end{array}\right.$，不妨設z=1，得$\overrightarrow{p}$=（0，-2，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{p}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，于是sin＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{p}$＞=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴二面角D₁-AC-B₁的正弦值為$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．