Question

16．已知定義在[-1，1]的函數滿足f（-x）=-f（x），當a，b∈[-1，0）時，總有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），則實數m的取值范圍是$-\frac{1}{2}≤m≤0$．

Answer 1

分析 先根據條件得到函數的奇偶性，再結合條件求出函數在[-1，1]上的單調性，最后根據單調性建立關系式求解即可．

解答 解：∵函數f（x）滿足f（-x）=-f（x），
∴函數f（x）是奇函數．
又∵當a，b∈[-1，0）時，總有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0，
∴函數f（x）在[-1，0）上單調遞增函數
根據奇函數的性質可知函數f（x）在[-1，1]上單調遞增函數
∵f（m+1）＞f（2m），
∴-1≤2m＜m+1≤1，
∴$-\frac{1}{2}≤m≤0$．
故答案為$-\frac{1}{2}≤m≤0$．

點評 本題主要考查了函數的單調性的應用，以及函數奇偶性的應用，屬于中檔題．