Question

5．已知實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≥-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$．
（1）求z=$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍；
（2）求z=|x+y+1|最小值．

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義求解即可．

解答 解：∵實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≥-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$，
∴作出可行域如圖所示，
并求頂點坐標A（1，$\frac{22}{5}$），B（1，1），C（5，2），

（1）∵z=$\frac{y+1}{x+1}$=$\frac{y-（-1）}{x-（-1）}$表示可行域內任一點（x，y）與定點D（-1，-1）連線的斜率，
∴由圖知k_CD≤z≤k_AD，又k_CD=$\frac{2+1}{5+1}$=$\frac{1}{2}$，k_AD=$\frac{\frac{22}{5}+1}{1+1}=\frac{27}{10}$，
∴$\frac{1}{2}≤z≤\frac{27}{10}$，∴z=$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{27}{10}$]．
（2）∵z=|x+y+1|，∴d=$\frac{z}{\sqrt{2}}$=$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$表示可行域內任一點到直線x+y+1=0的距離．在圖中作出直線x+y+1=0，由圖易知可行域中的點B到該直線的距離最小
∴點B到該直線的距離d₀=$\frac{|1+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
∴d_min=$\frac{{z}_{min}}{\sqrt{2}}$，可得z=|x+y+1|最小值為：3．

點評 本題考查線性規劃的簡單應用，畫出約束條件的可行域，目標函數的幾何意義的解題的關鍵．