Question

13．已知函數f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調遞增區間；
（3）求f（x）的對稱軸及對稱中心．

Answer 1

分析 （1）（2）（3）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的對稱軸及對稱中心．

解答 解：函數f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$．
化簡可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x$+\frac{1}{2}$，
∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$，
（1）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$$2x+\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴f（x）的單調遞增區間為$[{-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ}]，k∈Z$；
（3）令$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z
可得：$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
∴對稱軸$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
令$2x+\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z．
得：x=$-\frac{π}{12}+\frac{1}{2}kπ$
∴對稱中心$（-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，0），k∈Z$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．