Question

1．已知函數f（x）=x³-x²-3，g（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx的定義域都是[$\frac{1}{2}$，2]
（1）求f（x）的最大值；
（2）若對任意的s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]都有f（s）≤g（t）成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，求出函數的最大值即可；
（2）問題轉化為f（x）_max≤g（x）_min，所以g（x）≥1，當x∈[$\frac{1}{2}$，2]時恒成立，得到a≥x-x²lnx，令k（x）=x-x²lnx，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2x，
x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，2）	2
f′（x）		負	0	正
f（x）		減	極小	增

因為f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{25}{8}$，f（2）=1，
所以f（x）_max=1．
（2）由已知：f（x）_max≤g（x）_min，所以g（x）≥1，
當x∈[$\frac{1}{2}$，2]時恒成立，
即：$\frac{a}{x}$+xlnx≥1，故a≥x-x²lnx，
令k（x）=x-x²lnx，k′（x）=1-2xlnx，k″（x）=-2lnx-3，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
可知k″（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調遞減，
且k″（$\frac{1}{2}$）=2ln2-3＜0知k″（x）＜0恒成立，
因此k′（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上單調遞減，
又k′（1）=0知k（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，
所以k（x）_max=k（1）=1，
所以得a范圍為{a|a≥1}．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．