Question

16．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-5x+4lnx在[t，t+1]上不單調，則t的取值范圍是（　　）

• A． {t|3＞t＞2或0＜t＜1}
• B． {t|t＞2}
• C． {t|t＞3}
• D． {t|4＞t＞3或0＜t＜1}

Answer 1

分析 先由函數求f′（x），再由“函數f（x）在[t，t+1]上不單調”轉化為：f′（x）=0在區間（t，t+1）上有解，進而轉化為：x²-5x+4=0在（t，t+1）上有解，進而求出答案．

解答 解：∵函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-5x+4lnx，
∴f′（x）=x-5+$\frac{4}{x}$，
∵函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-5x+4lnx在（t，t+1）上不單調，
∴f′（x）=x-5+$\frac{4}{x}$=0在（t，t+1）上有解
∴$\frac{{x}^{2}-5x+4}{x}$=0在（t，t+1）上有解
∴g（x）=x²-5x+4=0在（t，t+1）上有解，
由x²-5x+4=0得：x=1，或x=4，
∴1∈（t，t+1）或4∈（t，t+1），
即t∈（0，1）或（3，4），
故選：D．

點評 本題主要考查導數法研究函數的單調性，基本思路：當函數是增函數時，導數大于等于零恒成立，當函數是減函數時，導數小于等于零恒成立，然后轉化為求相應函數的最值問題．注意判別式的應用．