Question

6．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ；
（2）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|．

Answer 1

分析 （1）根據平面向量的數量積運算與夾角公式，計算即可；
（2）根據平面向量的模長公式，計算即可．

解答 解：（1）∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\frac{1}{2}$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{1}{2}$，
即|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow$|²=$\frac{1}{2}$．
∵|$\overrightarrow{a}$|=1，∴|$\overrightarrow$|²=$\frac{1}{2}$，∴|$\overrightarrow$|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；…（4分）
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{1×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又θ∈[0，π]，∴θ=$\frac{π}{4}$；…（8分）
（2）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²
=1+2×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$
=$\frac{5}{2}$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{\frac{5}{2}}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$．…（12分）

點評 本題考查了平面向量的數量積運算與夾角、模長的計算問題，是基礎題．