Question

17．已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=±1時取得極值，且f（1）=-1．
（I）試求常數a、b、c的值；
（II）試求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）是實數域上的可導函數，可先求導確定可能的極值點，再通過極值點與導數的關系，即極值點必為f′（x）=0的根建立起由極值點x=±1所確定的相關等式，運用待定系數法確定a、b、c的值．
（Ⅱ）求出f′（x）并分解因式討論x的取值決定f′（x）的正負研究函數的增減性即可．

解答 解：（Ⅰ）由f′（1）=f′（-1）=0，
得3a+2b+c=0，①，3a-2b+c=0，②，
又f（1）=-1，∴a+b+c=-1．③
由①②③解得a=$\frac{1}{2}$，b=0，c=-$\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）f（x）=$\frac{1}{2}$x³-$\frac{3}{2}$x，
∴f′（x）=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$（x-1）（x+1），
當x＜-1或x＞1時，f′（x）＞0；
當-1＜x＜1時，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，1）遞減，在（1，+∞）遞增．

點評 考查學生利用導數研究函數極值的能力，以及用待定系數法求函數解析式的能力．