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16.已知a,b,c>0,求證$\frac{{{a^2}{b^2}+{b^2}{c^2}+{a^2}{c^2}}}{a+b+c}≥abc$.

分析 根據a2+b2≥2ab,兩邊再乘c2得出c2(a2+b2)≥2c2ab,同理得出其他兩式,將不等式相加化簡即可得出結論.

解答 證明:因為b2+c2≥2bc,a2>0,
∴a2(b2+c2)≥2a2bc,
同理:b2(a2+c2)≥2b2ac,
c2(a2+b2)≥2c2ab,
以上三式相加得:2(a2b2+a2c2+b2c2)≥2a2bc+2b2ac+2c2ab,
∴a2b2+a2c2+b2c2≥abc(a+b+c),
∵a+b+c>0,∴$\frac{{{a^2}{b^2}+{b^2}{c^2}+{a^2}{c^2}}}{a+b+c}≥abc$.

點評 本題考查了不等式的證明,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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③$\frac{m}{n}$<a則m<na;
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廣告費用x(萬元)23456
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17.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1時取得極值,且f(1)=-1.
(I)試求常數a、b、c的值;
(II)試求函數f(x)的單調區間.

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