Question

1．已知$f（x）=sinωx+\sqrt{3}cosωx（{ω＞0，x∈R}）$，若函數f（x）在區間（0，4π）內恰有5個零點，則ω的取值范圍是$\frac{7}{6}＜ω≤\frac{17}{12}$．

Answer 1

分析 令f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）=0，可解得：x=$\frac{（3k-1）π}{3ω}$，k∈Z，由于ω＞0，則非負根中較小的有：$\frac{2π}{3ω}$，$\frac{5π}{3ω}$，$\frac{8π}{3ω}$，$\frac{11π}{3ω}$，$\frac{14π}{3ω}$，$\frac{17π}{3ω}$，由題意可求$\frac{14π}{3ω}$＜4π，且$\frac{17π}{3ω}$≥4π，即可解得ω的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
∴令f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）=0，可得：ωx+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
∴解得：x=$\frac{（3k-1）π}{3ω}$，k∈Z，
∴由于ω＞0，則非負根中較小的有：$\frac{2π}{3ω}$，$\frac{5π}{3ω}$，$\frac{8π}{3ω}$，$\frac{11π}{3ω}$，$\frac{14π}{3ω}$，$\frac{17π}{3ω}$，
∵函數f（x）在區間（0，4π）內恰有5個零點，
∴$\frac{14π}{3ω}$＜4π，且$\frac{17π}{3ω}$≥4π，
∴解得：$\frac{7}{6}＜ω≤\frac{17}{12}$．
故答案為：$\frac{7}{6}＜ω≤\frac{17}{12}$．

點評 本題考查函數f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的圖象及性質，考查了函數的零點與方程的根的關系應用，同時考查了三角函數的求值應用，體現了數形結合的思想．屬于中檔題．