Question

12．已知△ABC是鈍角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則AB=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{7}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 根據題意和三角形的面積公式求出sinC的值，由內角的范圍、特殊角的正弦值求出角C，再分別利用余弦定理求出AB的值，并利用余弦定理驗證是否符合條件．

解答 解：由題意得，鈍角三角形ABC，若AC=1，BC=2，且△ABC的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
則$\frac{1}{2}×1×2$×sinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得sinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由0＜C＜π得，C=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
當C=$\frac{π}{3}$時，由余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cosC=1+4-2×1×$2×\frac{1}{2}$=3，AB=$\sqrt{3}$，
則A是最大角，cosA=0，則A是直角，
這與三角形是鈍角三角形矛盾，
所以C=$\frac{2π}{3}$，則AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cosC=1+4+2×1×$2×\frac{1}{2}$=7，則AB=$\sqrt{7}$，
故選：B．

點評 本題考查余弦定理及其變形，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，注意內角的范圍，考查化簡、計算能力．