Question

20．記[x]表示不超過x的最大整數，如[1.2]=1，[0.5]=0，則方程[x]-x=lnx的實數根的個數為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 設y=[x]-x-lnx，則x＞0．當x∈（0，1）時，y=[x]-x-lnx=-x-lnx，當x=1時，y=0，當x∈（1，+∞）時，[x]-x≤0，lnx＞0，[x]-x-lnx恒小于0，由此能求出方程[x]-x=lnx的實數根的個數．

解答 解：設y=[x]-x-lnx，則x＞0．
①當x∈（0，1），y=[x]-x-lnx=-x-lnx，
∵x∈（0，1）時，${y}^{'}=-1-\frac{1}{x}$＜0，
∴y=[x]-x-lnx=-x-lnx在（0，1）上是減函數，
$\underset{lim}{x→0}（-x-lnx）$=+∞，
當x=1時，y=0，
∴方程[x]-x=lnx在（0，1]內有1 個實數根．
②當x∈（1，+∞）時，[x]-x≤0，lnx＞0，
∴[x]-x-lnx恒小于0，
∴方程[x]-x=lnx在（1，+∞）內無實數根．
綜上，方程[x]-x=lnx的實數根的個數為1個．
故選：B．

點評 本題考查方程的實數根的個數的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數性質、導數知識的合理運用．