Question

15．若函數f（x）=ax³+3x²-x在R上是減函數，則a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，3）
• B． （-∞，-3]
• C． [3，+∞）
• D． （-3，3）

Answer 1

分析 求出f（x）的導函數，由函數在R上是減函數，得到導函數恒小于0，導函數為開口向下且與x軸最多有一個交點時，導函數值恒小于0，即a小于0，根的判別式小于等于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

解答 解：由f（x）=ax³+3x²-x，得到f′（x）=3ax²+6x-1，
因為函數在R上是減函數，所以f′（x）=3ax²+6x-1≤0恒成立，
所以 $\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，由△=36+12a≤0，解得a≤-3，
則a的取值范圍是（-∞，-3]．
故選：B．

點評 此題考查學生會利用導函數的正負判斷函數的單調區間，靈活運用二次函數的思想解決實際問題，是一道中檔題．