Question

5．已知實數a＞0，b＞0，$\sqrt{2}$是4^a與2^b的等比中項，則$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\frac{11}{3}$
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 利用等比中項的性質可得2a+b=1．再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵實數a＞0，b＞0，$\sqrt{2}$是4^a與2^b的等比中項，∴2=4^a•2^b，∴2a+b=1．
則$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（2a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$=4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥4+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=8，當且僅當b=2a=$\frac{1}{2}$時取等號．
其最小值是8．
故選：C．

點評 本題考查了等比中項的性質、“乘1法”與基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．