Question

15．已知函數F（x）=$\frac{a•{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，（a為實數）．
（1）根據a的不同取值，討論函數y=f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若對任意的x≥1，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）、根據題意，先求出函數的定義域，易得其定義域關于原點對稱，求出F（-x）的解析式，進而分2種情況討論：①若y=f（x）是偶函數，②若y=f（x）是奇函數，分別求出每種情況下a的值，綜合即可得答案；
（2）根據題意，由f（x）的范圍，分2種情況進行討論：f（x）≥1以及f（x）≤3，分析求出每種情況下函數的恒成立的條件，可得a的值，進而綜合2種情況，可得答案．

解答 解：（1）函數F（x）=$\frac{a•{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$定義域為R，
且F（-x）=$\frac{a•{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{a-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$，
①若y=f（x）是偶函數，則對任意的x 都有f（x）=f（-x），
即$\frac{a•{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{a-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$，即2^x（a+1）=a+1，
解可得a=-1；
②若y=f（x）是奇函數，則對任意的x 都有f（x）=-f（-x），
即$\frac{a•{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-$\frac{a-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$，即2^x（a-1）=1-a，
解可得a=1；
故當a=-1時，y=f（x）是偶函數，
當a=1時，y=f（x）是奇函數，
當a≠±1時，y=f（x）既非偶函數也非奇函數，
（2）由f（x）≥1可得：2^x+1≤a•2^x-1，即$\frac{2}{{2}^{x}}$≤a-1    …（8分）
∵當x≥1時，函數y₁=$\frac{2}{{2}^{x}}$ 單調遞減，其最大值為1，
則必有a≥2，
同理，由f（x）≤3 可得：a•2^x-1≤3•2^x+3，即a-3≤$\frac{4}{{2}^{x}}$，
∵當x≥1時，y₂=$\frac{4}{{2}^{x}}$單調遞減，且無限趨近于0，
故a≤3，
綜合可得：2≤a≤3．

點評 本題考查函數恒成立問題，涉及函數奇偶性的判定與性質，解（2）題的關鍵在于將恒成立問題轉化為最值問題．