Question

10．設（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，若$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$=$\frac{1}{3}$，則n=11．

Answer 1

分析 利用二項式定理展開可得：（1+x）ⁿ=$1+{∁}_{n}^{1}x+{∁}_{n}^{2}{x}^{2}$+${∁}_{n}^{3}$x³+…=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，比較系數即可得出．

解答 解：∵（1+x）ⁿ=$1+{∁}_{n}^{1}x+{∁}_{n}^{2}{x}^{2}$+${∁}_{n}^{3}$x³+…=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，
又$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{{∁}_{n}^{2}}{{∁}_{n}^{3}}$=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{\frac{n（n-1）}{2}}{\frac{n（n-1）（n-2）}{3×2×1}}$=$\frac{1}{3}$，n-2=9，
則n=11．
故答案為：11．

點評 本題考查了二項式定理的應用、組合數的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．