Question

3．如圖，已知曲線${C_1}：y=\frac{2x}{x+1}\;\;（x＞0）$及曲線${C_2}：y=\frac{1}{3x}\;\;（x＞0）$，C₁上的點P₁的橫坐標為${a_1}\;（0＜{a_1}＜\frac{1}{2}）$．從C₁上的點${P_n}\;（n∈{N^*}）$作直線平行于x軸，交曲線C₂于Q_n點，再從C₂上的點${Q_n}\;（n∈{N^*}）$作直線平行于y軸，交曲線C₁于P_n+1點，點P_n（n=1，2，3…）的橫坐標構成數列{a_n}．
（1）求曲線C₁和曲線C₂的交點坐標；
（2）試求a_n+1與a_n之間的關系；
（3）證明：${a_{2n-1}}＜\frac{1}{2}＜{a_{2n}}$．

Answer 1

分析 （1）取立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2x}{x+1}，x＞0}\\{y=\frac{1}{3x}，x＞0}\end{array}\right.$，能求出曲線C₁和曲線C₂的交點坐標．
（2）設P_n（${a}_{n}，{y}_{{p}_{n}}$），${Q}_{n}（{x}_{{Q}_{n}}，{y}_{{Q}_{n}}）$，由已知${y}_{{P}_{n}}=\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，能求出${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}+1}{6{a}_{n}}$．
（3）由${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}+1}{6{a}_{n}}$，${a}_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{-2（{a}_{n}-\frac{1}{2}）}{6{a}_{n}}$，得${a}_{n+1}-\frac{1}{2}$與${a}_{n}-\frac{1}{2}$異號，由此能證明a_2n-1$＜\frac{1}{2}＜{a}_{2n}$．

解答 解：（1）∵曲線${C_1}：y=\frac{2x}{x+1}\;\;（x＞0）$及曲線${C_2}：y=\frac{1}{3x}\;\;（x＞0）$，
取立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2x}{x+1}，x＞0}\\{y=\frac{1}{3x}，x＞0}\end{array}\right.$，得x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{2}{3}$，
∴曲線C₁和曲線C₂的交點坐標是（$\frac{1}{2}，\frac{2}{3}$）．
（2）設P_n（${a}_{n}，{y}_{{p}_{n}}$），${Q}_{n}（{x}_{{Q}_{n}}，{y}_{{Q}_{n}}）$，由已知${y}_{{P}_{n}}=\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
又${y}_{{Q}_{n}}={y}_{{P}_{n}}$，${x}_{{Q}_{n}}=\frac{1}{3{y}_{{Q}_{n}}}$=$\frac{1}{3-\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}}$=$\frac{{a}_{n}+1}{6{a}_{n}}$=${x}_{{p}_{n+1}}={a}_{n+1}$，
${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}+1}{6{a}_{n}}$．
證明：（3）a_n＞0，由${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}+1}{6{a}_{n}}$，${a}_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{-2（{a}_{n}-\frac{1}{2}）}{6{a}_{n}}$，
得${a}_{n+1}-\frac{1}{2}$與${a}_{n}-\frac{1}{2}$異號，
∵0＜a₁$＜\frac{1}{2}$，${a}_{1}-\frac{1}{2}＜0$，${a}_{2n-1}-\frac{1}{2}＜0$，${a}_{2n}-\frac{1}{2}＞0$，
∴a_2n-1$＜\frac{1}{2}＜{a}_{2n}$．

點評 本題考查兩曲線交點坐標的求法，考查數列中前一項與后一項的關系的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．