Question

20．設α，β為銳角，且滿足sin²α+sin²β=sin（α+β），則α+β=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由兩角和的正弦函數公式化簡已知可得sinα（sinα-cosβ）+sinβ（sinβ-cosα）=0，由sinα＞0，sinβ＞0，分類討論，可求sinβ-cosα=0，即可得解α+β=$\frac{π}{2}$，從而得解．

解答 解：由于：sin²α+sin²β=sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
所以：sinα（sinα-cosβ）+sinβ（sinβ-cosα）=0，
由于α，β為銳角，則sinα＞0，sinβ＞0，
若sinα-cosβ＞0，則要求sinβ-cosα＜0，
即α＞$\frac{π}{2}$-β且β＜$\frac{π}{2}$-α，兩者矛盾，故sinα-cosβ≤0，
同理，得sinβ-cosα≥0，
所以sinβ-cosα=0，即α，β互余，即α+β=$\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點評 本題主要考查了兩角和的正弦函數公式，誘導公式，三角函數的圖象和性質的綜合應用，考查了分類討論思想，屬于基礎題．