Question

8．某工廠為了對新研發的一種產品進行合理定價，將該定價按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：

單價x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
銷量y（元）	90	84	83	80	75	68

（1）求回歸直線方程$\hat y=bx+a$；
（2）預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（1）中的關系，且該產品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產品的單價應定為多少元？
附：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}（{{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）根據表中數據，計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數，寫出回歸直線方程；
（2）寫出工廠利潤函數，根據利潤函數求出利潤最大時產品的單價是多少．

解答 解：（1）∵$\overline x=\frac{8+8.2+8.4+8.6+8.8+9}{6}=8.5$，
$\overline y=\frac{90+84+83+80+75+68}{6}=80$，
∴可列表如下：

i	1	2	3	4	5	6
${x_i}-\overline x$	-0.5	-0.3	-0.1	0.1	0.3	0.5
${y_i}-\overline y$	10	4	3	0	-5	-12

∴$\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）=（{-5}）×10}+（{-3}）×4+（{-0.1}）×3+0.1×0+0.3×（{-5}）+0.5×（{-12}）=-14$，$\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}={{（{-0.5}）}^2}+{{（{-0.3}）}^2}+{{（{-0.1}）}^2}+0.1×0}+{0.3^2}+{0.5^2}=0.7$，
∴$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=-20$，
則$a=\overline y-b\overline x=80-（{-20}）×8.5=250$，
∴線性回歸方程為$\hat y=-20x+250$；
（2）由于工廠獲得的利潤$z=（{x-4}）\hat y=-20{x^2}+330x-1000$，
所以當$x=\frac{330}{40}=8.25$，工廠獲得利潤z最大，
綜上，該產品的單價應定為8.25元．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，也考查了計算與推理能力，是中檔題．