Question

16．如圖，已知在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，若PC=BC=8，AB=4，E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐P-CEF的外接球的球心為O，則△AOB的面積為8$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 過O作OH⊥平面PCF，則垂足H為PC中點(diǎn)，證明AB⊥平面PBC得出OH∥AB，故而O到AB的距離為BH的長，代入面積公式即可求出答案．

解答 解：∵PC=CB，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，
∴CF⊥PF，即△PCF是直角三角形．
過O作OH⊥平面PCF，垂足為H，則H是PC的中點(diǎn)，
∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PC⊥AB，又AB⊥BC，PC∩BC=C，
∴AB⊥平面PBC，又OH⊥平面PBC，
∴OH∥AB，
連結(jié)BH，則BH為O到AB的距離，
由勾股定理得BH=$\sqrt{B{C}^{2}+C{H}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}×AB×BH$=$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$．
故答案為：8$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間距離的計(jì)算，棱錐與球的位置關(guān)系，屬于中檔題．