Question

11．已知在平面直角坐標系中，曲線f（x）=alnx+x在x=a處的切線過原點，則a=（　　）

• A． 1
• B． e
• C． $\frac{1}{e}$
• D． 0

Answer 1

分析 求出${f}^{'}（x）=\frac{a}{x}+1$，${f}^{'}（a）=\frac{a}{a}+1=2$，f（a）=alna+a，由此導數的幾何意義求出曲線f（x）在x=a處的切線方程為y-alna-a=2（x-a），再由曲線f（x）=alnx+x在x=a處的切線過原點，能求出a．

解答 解：∵f（x）=alnx+x，∴${f}^{'}（x）=\frac{a}{x}+1$，
∴${f}^{'}（a）=\frac{a}{a}+1=2$，
∵f（a）=alna+a，
∴曲線f（x）在x=a處的切線方程為y-alna-a=2（x-a），
∵曲線f（x）=alnx+x在x=a處的切線過原點，
∴-alna-a=-2a，解得a=e．
故選：B．

點評 本題考查實數值的求法，具體涉及到導數、切線方程、導數的幾何意義等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想，是中檔題．