Question

9．已知x＞0，y＞0，求證：$x+y≤\frac{y^2}{x}+\frac{x^2}{y}$．

Answer 1

分析 使用分析法證明，尋找使結論成立的充分條件即可．

解答 證明：∵x＞0，y＞0，
故欲證：$x+y≤\frac{y^2}{x}+\frac{x^2}{y}$，只需證：（x+y）xy≤x³+y³，
即證：（x+y）xy≤（x+y）（x²-xy+y²），
只需證：xy≤x²-xy+y²，
即證：2xy≤x²+y²，
顯然上式恒成立，
故$x+y≤\frac{y^2}{x}+\frac{x^2}{y}$．

點評 本題考查了不等式的證明，屬于中檔題．