Question

19．（1）設（1-x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，求下列各式的值．
（Ⅰ）a₀
（Ⅱ）（a₀+a₂+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₉）²
（Ⅲ）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₁₀|
（2）求（1+2x-x²）⁵展開式中x⁴的系數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用賦值法，令x=0，即可得a₀的值．
（Ⅱ）利用賦值法，令x=1，即可得a₀+a₁+a₂+…+a₁₀的值．由（a₀+a₂+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₉）²平方差公式化簡可得答案．
（Ⅲ）根據二項式系數的和為2ⁿ，即|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₁₀|=2¹⁰
（2）由（1+2x-x²）⁵=[2-（x-1）²]⁵通項公式求解即可．

解答 解：（1）（1-x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，
（Ⅰ）令x=0，可得1=a₀
即a₀的值為1．x
（Ⅱ）令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=0值．
由（a₀+a₂+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₉）²平=（a₀+a₁+a₂+…+a₁₀）（a₀-a₁+a₂-…+a₁₀）=0；
（Ⅲ）二項式系數的和為2ⁿ，即|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₁₀|=2¹⁰=1024
（2）由（1+2x-x²）⁵=[2-（x-1）²]⁵
由通項公式${{T}_{r+1}=C}_{5}^{r}（-1）^{r}（2）^{5-r}（x-1）^{2r}$，r≤5．
再由（x-1）^2r展開式中含有x⁴，
則有${C}_{2r}^{t}{x}^{2r-t}（-1）^{t}$．
可得：2r-t=4，且2r≥t．
當r=2，t=0時，足題意，可得x⁴的系數為${C}_{5}^{2}{2}^{3}=80$
當r=3，t=2時，滿足題意，可得x⁴的系數為${-C}_{5}^{3}{{2}^{2}C}_{6}^{2}=-600$
當r=4，t=4時，滿足題意，可得x⁴的系數為$C\frac{4}{5}{2}^{1}{C}_{8}^{4}=700$
當r=5，t=6時，滿足題意，可得x⁴的系數為${C}_{5}^{5}（-1）^{5}{2}^{0}{C}_{10}^{6}$=-210．
展開式中x⁴的系數合并，可得x⁴的系數-30．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，三項式轉化為二項式利用通項討論x⁴的系數，屬于中檔題．