Question

9．已知數列{a_n}中，a₁=0，a₂=p（p是不等于0的常數），S_n為數列{a_n}的前n項和，若對任意的正整數n都有S_n=$\frac{n{a}_{n}}{2}$，則數列{a_n}通項為a_n=p（n-1）．．

Answer 1

分析 由條件得S_n+1=$\frac{n+1}{2}{a}_{n+1}$，與條件式相減得出遞推式，從而得出{$\frac{{a}_{n+1}}{n}$}是常數列，得出通項，再驗證n=1的情況即可．

解答 解：∵S_n=$\frac{n{a}_{n}}{2}$，∴S_n+1=$\frac{n+1}{2}{a}_{n+1}$，
兩式相減得：a_n+1=$\frac{n+1}{2}$a_n+1-$\frac{n}{2}{a}_{n}$，
∴$\frac{n-1}{2}$a_n+1=$\frac{n}{2}{a}_{n}$，
∴當n≥2時，$\frac{{a}_{n+1}}{n}$=$\frac{{a}_{n}}{n-1}$=…=$\frac{{a}_{2}}{1}$=p，
∴a_n=p（n-1）．
顯然n=1時，上式也成立．
∴對一切n∈N⁺，a_n=p（n-1）．
故答案為：a_n=p（n-1）．

點評 本題考查了數列通項公式的求法，屬于中檔題．