Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin（{ωx-\frac{π}{6}}）+b$（ω＞0），且函數(shù)圖象的對稱中心到對稱軸的最小距離為$\frac{π}{4}$，當$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$時，f（x）的最大值為1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）-3≤m≤g（x）+3在$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用正弦函數(shù)的周期性求得ω，再根據(jù)函數(shù)的最值求得b的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅱ）根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再根據(jù)g（x）-3≤m≤g（x）+3在x∈[0，$\frac{π}{3}$]上恒成立，求得m的范圍．

解答 解：（I）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{6}$）+b（ω＞0），且函數(shù)圖象的對稱中心到對稱軸的最小距離為$\frac{π}{4}$，
∴$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{4}$，可得：T=π，由$\frac{2π}{ω}$=π，可得：ω=2，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+b．
∵當x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴由于y=sinx在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，可得當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
即x=$\frac{π}{4}$時，函數(shù)f（x）取得最大值f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$+b，
∴$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{3}$+b=1，解得b=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位長度，
得到的圖象的函數(shù)解析式為：g（x）=$\sqrt{3}$sin[2（x-$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}$]-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，
∵當x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，可得：2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$∈[-2，1]，
∴g（x）-3∈[-5，-2]，g（x）+3∈[1，4]，
∵g（x）-3≤m≤g（x）+3在x∈[0，$\frac{π}{3}$]上恒成立，∴m∈[-2，1]．

點評 本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)應用，屬于中檔題．