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13.如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求該幾何體的體積.

分析 (Ⅰ)推導出AC⊥BD,AC⊥DE,由此能證明AC⊥平面BDE.
(Ⅱ)該幾何體的體積V=VB-AEF+VE-ABCD,由此能求出該幾何體的體積.

解答 證明:(Ⅰ)∵ABCD是邊長為3的正方形,∴AC⊥BD,
∵DE⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
∴AC⊥DE,
∵BD∩DE=D,∴AC⊥平面BDE.
解:(Ⅱ)∵ABCD是邊長為3的正方形,AF∥DE,DE=3AF,
BE與平面ABCD所成角為60°.
∴BD=$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$,ED=3$\sqrt{6}$,AF=$\sqrt{6}$,
由題意得DE⊥平面ABCD,AB⊥平面AEF,
∴該幾何體的體積:
V=VB-AEF+VE-ABCD
=$\frac{1}{3}×3×[\frac{1}{2}(\sqrt{6}+3\sqrt{6})×3-\frac{1}{2}×3×3\sqrt{6}]$+$\frac{1}{3}×3\sqrt{6}×{3}^{2}$
=$\frac{21\sqrt{6}}{2}$.

點評 本題考查線面垂直的證明,考查幾何體的體積的求法,涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉化思想,是中檔題.

練習冊系列答案
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A.3B.4C.6D.12

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(Ⅰ)求函數f(x)的解析式;
(Ⅱ)將函數f(x)的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位長度得到函數g(x)的圖象,若g(x)-3≤m≤g(x)+3在$x∈[{0,\frac{π}{3}}]$上恒成立,求實數m的取值范圍.

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18.將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處,小球將自由下落.小球在下落過程中它將3次遇到黑色障礙物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時,向左、右兩邊下落的概率都是$\frac{1}{2}$.
(Ⅰ)求小球落入B袋中的概率P(B);
(Ⅱ)在容器入口處依次放入4個小球,求恰好有3個球落入A袋中的概率.

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5.某特色餐館開通了美團外賣服務,在一周內的某特色外賣份數x(份)與收入y(元)之間有如下的對應數據:
外賣份數x(份)24568
收入y(元)3040605070
(1)畫出散點圖;
(2)求回歸直線方程;
(3)據此估計外賣份數為12份時,收入為多少元.
注:參考公式:$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{(\overline x)}^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{({x_i}-\overline x)({y_i}-\overline y})}}{{\sum_{i=1}^n{{{({x_i}-\overline x)}^2}}}}$,$\widehata$=$\overline y-\widehatb\overline x$;
參考數據:$\sum_{i=1}^5{x_1^2}=145,\sum_{i=1}^5{y_1^2}=13500,\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=1380$.

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2.函數$f(x)=Asin({ωx+φ})({x∈R,A>0,ω>0,|φ|<\frac{π}{2}})$的部分圖象如圖所示,如果${x_1},{x_2}∈({-\frac{π}{6},\frac{π}{3}})$,且f(x1)=f(x2),則f(x1+x2)=(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$C.$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D.1

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3.已知函數f(x)=ax3-x+1的圖象在點(1,f(1))處的切線過點(2,3).
(1)求a的值;
(2)求函數f(x)的極值.

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