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4.已知函數(shù)$f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<\frac{π}{2})$,$f(-\frac{π}{4})=0$,$f(\frac{π}{4}-x)=f(\frac{π}{4}+x)$,且f(x)在$(\frac{π}{18},\frac{2π}{9})$上單調,則ω的最大值為5.

分析 根據(jù)f(-$\frac{π}{4}$)=0和$f(\frac{π}{4}-x)=f(\frac{π}{4}+x)$,求出φ=$\frac{π}{4}$,ω=-4k+1,k∈Z;
根據(jù)f(x)在$(\frac{π}{18},\frac{2π}{9})$上單調,得出$\frac{2π}{9}$-$\frac{π}{18}$≤$\frac{T}{2}$,從而求出ω的最大值.

解答 解:函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),
∴f(-$\frac{π}{4}$)=2sin(-$\frac{π}{4}$ω+φ)=0,
∴-$\frac{π}{4}$ω+φ=kπ,k∈Z①;
又$f(\frac{π}{4}-x)=f(\frac{π}{4}+x)$,
∴x=$\frac{π}{4}$是f(x)圖象的對稱軸,
∴$\frac{π}{4}$ω+φ=k′π+$\frac{π}{2}$,k′∈Z②;
由①②得,φ=$\frac{k+k′}{2}$π+$\frac{π}{4}$,k∈Z,
∴取φ=$\frac{π}{4}$,且ω=-4k+1,k∈Z;
∴f(x)=2sin(ωx+$\frac{π}{4}$)的最小正周期為T=$\frac{2π}{ω}$;
又f(x)在$(\frac{π}{18},\frac{2π}{9})$上單調,
∴$\frac{2π}{9}$-$\frac{π}{18}$≤$\frac{π}{ω}$,即$\frac{1}{6}$≤$\frac{1}{ω}$,
解得ω≤6;
綜上,ω的最大值為5.
故答案為:5.

點評 本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質的應用問題,是中檔題.

練習冊系列答案
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