Question

4．已知函數(shù)$f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$，$f（-\frac{π}{4}）=0$，$f（\frac{π}{4}-x）=f（\frac{π}{4}+x）$，且f（x）在$（\frac{π}{18}，\frac{2π}{9}）$上單調，則ω的最大值為5．

Answer 1

分析 根據(jù)f（-$\frac{π}{4}$）=0和$f（\frac{π}{4}-x）=f（\frac{π}{4}+x）$，求出φ=$\frac{π}{4}$，ω=-4k+1，k∈Z；
根據(jù)f（x）在$（\frac{π}{18}，\frac{2π}{9}）$上單調，得出$\frac{2π}{9}$-$\frac{π}{18}$≤$\frac{T}{2}$，從而求出ω的最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），
∴f（-$\frac{π}{4}$）=2sin（-$\frac{π}{4}$ω+φ）=0，
∴-$\frac{π}{4}$ω+φ=kπ，k∈Z①；
又$f（\frac{π}{4}-x）=f（\frac{π}{4}+x）$，
∴x=$\frac{π}{4}$是f（x）圖象的對稱軸，
∴$\frac{π}{4}$ω+φ=k′π+$\frac{π}{2}$，k′∈Z②；
由①②得，φ=$\frac{k+k′}{2}$π+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴取φ=$\frac{π}{4}$，且ω=-4k+1，k∈Z；
∴f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{4}$）的最小正周期為T=$\frac{2π}{ω}$；
又f（x）在$（\frac{π}{18}，\frac{2π}{9}）$上單調，
∴$\frac{2π}{9}$-$\frac{π}{18}$≤$\frac{π}{ω}$，即$\frac{1}{6}$≤$\frac{1}{ω}$，
解得ω≤6；
綜上，ω的最大值為5．
故答案為：5．

點評 本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質的應用問題，是中檔題．