Question

5．如圖，正四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁，它的上底面是邊長為2的正方形，下底面是邊長為4的正方形，側棱長為2，側面是全等的等腰梯形，求四棱臺的表面積和體積．

Answer 1

分析 由題意解直角三角形可得側面的高，再由正方形面積公式及等腰三角形的面積公式求解．

解答 解：∵正四棱臺的上底面是邊長為2的正方形，下底面是邊長為4的正方形，
∴上底面、下底面的面積分別是4，16，
∵側棱長為2，側面是全等的等腰梯形，
∴側面的高為$\sqrt{4-（\frac{4-2}{2}）^{2}}=\sqrt{3}$，
∴側面的面積為$\frac{1}{2}×（2+4）×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$．
∴四棱臺的表面積為$4+16+3\sqrt{3}×4=20+12\sqrt{3}$．

點評 本題考查棱柱、棱錐及棱臺的體積，考查空間想象能力和計算能力，是中檔題．