Question

16．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$            （t為參數），以坐標原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=4cosθ．
（1）求曲線C和直線l的直角坐標系方程；
（2）設點P（2，0），直線l與曲線C交于A，B兩點，求弦長|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t可得普通方程．曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，利用互化公式即可得出直角坐標方程．
（2）把直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）代入方程y²=4x可得：3t²-8t-32=0．|PA|•|PB|=|t₁t₂|．

解答 解：（1）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t可得普通方程：$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0．
曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，可得直角坐標方程：y²=4x．
（2）把直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）代入方程y²=4x可得：3t²-8t-32=0．
∴t₁t₂=-$\frac{32}{3}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{32}{3}$．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與拋物線相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．